ZB0110 - Aksjomaty teorii mnogości - TASLAVIUS

Idź do spisu treści

Menu główne

ZB0110 - Aksjomaty teorii mnogości

O potrzebie aksjomatycznego ujęcia teorii mnogości.

W samych początkach teoria mnogości opierała się wyłącznie na intuicji.  Nawet sam Cantor, twórca tej teorii, nie posłużył się aksjomatycznym jej ujęciem.  Takie podejście do tematu było zawodnym. Okazuję się bowiem, że ta metoda nie pozwalała odpowiedzieć na kilka bardzo ważnych i subtelnych pytań dotyczących samej natury zbioru. W efekcie pojawiły się tzw. antynomie ( sprzeczności ), których nie można było uniknąć na drodze odwoływania się do intuicji.

Jako przykład wystarczy rozważyć antynomię Rusella.
Rozważmy zbiór Z, który jest złożony ze zbiorów, które nie są swoimi własnymi elementami. Dowolny zbiór X jest elementem zbioru Z wtedy i tylko wtedy, gdy X nie jest elementem X.
Tak przyjęta konstrukcja zbioru Z prowadzi jednak do sprzeczności. Zapytajmy bowiem, czy Z jest elementem zbioru Z? Jeśli jest, to z definicji Z wynika ,że Z nie jest swoim elementem, a więc Z nie należy do Z. Jeśli jednak przyjąć, że Z nie jest elementem Z, to z tej samej definicji wynika , że Z jest elementem Z. Otrzymaliśmy więc ewidentną sprzeczność, którą przy tak dowolnym traktowaniu pojęcia zbioru nie sposób usunąć.

Jak więc widzimy intuicja okazała się zgubna. A jedynym sposobem który pozwalał przed takimi pułapkami się ustrzec, było stworzenie ścisłej metody, jaką jest sposób aksjomatyczny ujęcia teorii mnogości.

Pierwszym, który tak właśnie ujął tę teorię był E.Zermelo. Potem bardzo wielu matematyków poprawiało, lub wręcz zmieniało zestaw aksjomatów. Ostatecznie stworzono teorię, w której posługujemy się tworami znacznie ogólniejszymi niż pojęcie zbioru, a mianowicie klasy. I to dopiero na gruncie tej teorii udało się udowodnić niesprzeczność aksjomatycznej teorii mnogości, oraz jej niezależność od  tzw. Hipotezy Continum, którą sformułował już sam  Cantor.

Link do tego filmu jest tutaj

Wróć do spisu treści | Wróć do menu głównego